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紀念碑谷:「不可能世界」是如何被創造的?

潘洛斯三角、潘洛斯階梯……這些在現實世界中不可能存在、卻在二維屏幕上完美顯示的物體,在《紀念碑谷》中構成了一個「不可能世界」。


《紀念碑谷》遊戲是利用空間視錯覺手段創造出的「不可能世界」的傑出代表。 遊戲截圖
《紀念碑谷》遊戲是利用空間視錯覺手段創造出的「不可能世界」的傑出代表。 遊戲截圖

繪畫就是騙術——即,暗示代替了現實——我們便可以得寸進尺,用一個二維的世界創造出一個三維的世界。

恩斯特(Bruno Ernst)

科普作家恩斯特(Bruno Ernst)在《魔鏡:艾雪的不可能世界》(The Magic Mirror of M.C. Escher)一書中這樣寫道。他評論的對象是留下眾多奇妙畫作的荷蘭藝術家艾雪(M.C. Escher, 1898 - 1972),後者最為人稱道的作品當中,不乏利用空間視錯覺手段創造出的「不可能世界」——倘若步入其中游覽,你會發現經驗裏的上下、內外、凹凸這些空間概念開始錯亂,甚至互為彼此。

這些作品不僅引起了數學家的興趣,也啟發了當代流行文化創作,《紀念碑谷》(Monument Valley)系列遊戲就是其中的傑出代表。這款空間解謎遊戲自2014年相繼在 iOS 和安卓平台推出後,迅速憑藉其簡約而玄妙的視覺元素,配以清新又神秘的背景音樂,俘獲了大批忠實粉絲。今年6月初的蘋果全球開發者大會(WWDC)上,續作《紀念碑谷2》率先在 iOS 平台驚喜亮相,再度風靡全球。

紀念碑谷(Monument Valley)

發行時間:2014年(一代)、2017年(二代)
開發商:Ustwo Games
平台:iOS, Android

《紀念碑谷》系列由英國設計公司 Ustwo 旗下的遊戲工作室開發,第一部的主設計師和美工師王友健(Ken Wong)為其奠定了藝術風格。在第一部裏,玩家通過自己的「上帝之手」在屏幕上平移、旋轉建築物或變換視角,就能協助主角艾達公主突破既有幾何結構限制、找出隱藏道路,從而自由地在各種幾何體組成的立體迷宮中穿行,探尋紀念碑與「神聖幾何」背後的秘密;第二部遊戲雖是由王友健離職後的新團隊開發,但延續了前作的風格與玩法,只是主角換成了母親羅爾和她的孩子,講述的則是一個關於親子關係的全新故事。

《紀念碑谷2》預告片

遊戲畫面的靈感最初源自王友健對風格迥異的廟宇宮殿、亭台樓閣的興趣,在加入 Ustwo 之後,他終於有機會設計一款以建築為核心元素的移動端遊戲。為了圍繞建築元素打造出有趣而獨特的互動體驗,遊戲設計團隊聯想到了艾雪作品中那些在現實三維世界裏不可能存在,但可以在二維屏幕上完美顯示的幾何結構。

在設計中最為關鍵的是,遊戲裏不少機關暗道之所以成立,都離不開採用等角投影(Isometric projection)的視覺呈現——這不僅是使用「潘洛斯三角」、「潘洛斯階梯」等視錯覺圖形元素的先決條件,也讓玩家能夠以俯瞰視角縱覽全局。這一設計思路直接來自艾雪的《上升與下降》(Ascending and Descending, 1960)和《瀑布》(Waterfall, 1961)等作品。

艾雪1961年版畫作品《瀑布》。

艾雪1961年版畫作品《瀑布》。

《紀念碑谷》中與艾雪畫作類似的關卡。

《紀念碑谷》中與艾雪畫作類似的關卡。遊戲截圖

從繪畫、建築設計到計算機圖形學,三維物體在二維平面的呈現,或者說投影,都是一個無法避開的重要課題。從幾何學的角度來看,主流的投影手段無非兩大類:透視投影(Perspective projection)和平行投影(Parallel projection)。

所謂透視投影,可以簡單理解為觀察者透過相機鏡頭看到的畫面,所有投影線形成錐狀,因此鏡頭的位置、方向和視野都會影響投影結果。這種方法可以得到與人眼看物體較為接近的視覺效果,因此自文藝復興時期開始在繪畫藝術中大行其道,如今也廣泛應用到各類設計產品展示、3D 和 VR 遊戲等領域。

而平行投影,則是假設觀察者處在「無限遠」來觀看物體,所有投影線互相平行,因此不會產生透視投影那種「近大遠小」的效果。儘管與人眼看到的畫面差別顯著,但由於可以顯示三維物體的精確輪廓和尺寸,方便設計與加工,平行投影已成為工程製圖等領域的主要方法。

採用透視投影的達芬奇名作《最後的晚餐》。

採用透視投影的達芬奇名作《最後的晚餐》。

《紀念碑谷》系列採用的等角投影就是平行投影最常見的一種,其三維座標軸在平面上形成三個120度的等角,令畫面局部呈現出立體效果。如前所述,雖然視覺上的失真使得等角投影畫面會出現高度難以辨識等尷尬狀況,但由於這種方法所要求的計算量相對較低(比如將立方塊移到遠處,不需要讓它看起來逐漸變小),而且部分滿足了玩家的「立體感」,因此它在20世紀80到90年代的電子遊戲中被廣泛使用,並影響至今。

更有趣的是,這種失真恰好被《紀念碑谷》用來重現艾雪畫作中看似荒謬的「不可能物體」,並以動態的形式賦予其新的生命。其中最具代表性的幾何元素,當屬在許多關卡中反覆出現的潘洛斯三角(Penrose triangle)及其變體,它們在玩家的撥弄下,彈指間便可化作跨越鴻溝的橋梁。

一般認為,潘洛斯三角最早由瑞典藝術家 Oscar Reutersvärd 在1934年製作出來,英國數學家潘洛斯(Roger Penrose, 1931 - )和他的遺傳學家父親也獨立發現此圖形並推而廣之,潘洛斯三角由此得名。這對科學家父子於1958年在《英國心理學雜誌》發表題為《不可能物體:視錯覺的一種特別類型》的研究論文,將潘洛斯三角稱為「不可能(物體)的最純粹形式」(impossibility in its purest form)。

潘洛斯三角由三個截面為正方形的長方體構成,組合為三角結構的三個長方體又兩兩垂直——這些條件無法在我們通常認知的三維空間內實現(當然,不算那些只能在特定角度下觀看,形似潘洛斯三角的道具模型),卻可以在等角投影的二維畫面中呈現出來。

《紀念碑谷》大量利用潘洛斯三角構造機關暗道。

《紀念碑谷》大量利用潘洛斯三角構造機關暗道。遊戲截圖

作為一個興趣廣泛、充滿好奇心的數學家,潘洛斯後來又發表了幾篇論文專門研究這種現象。他甚至搬出代數拓撲中的上同調(cohomology)方法,從理論層面探究潘洛斯三角這類物體可以在何種抽象空間存在。

用拓撲學的語言作總結,潘洛斯三角其實是可以在某種特殊的三維流形(3-manifold)中成立的。流形可以視作局部與通常的歐幾里得空間相似,但整體可能截然不同的空間。舉個最簡單的例子,你在家裏的地板上畫出的三角形內角之和是180度,但如果將鏡頭拉出地球外,你會發現用赤道和兩條經線(對地面上的人而言是三條直線)圍出的三角形內角和卻是大於180度的,這意味着球面和平面是局部相似而整體不同的兩種二維流形。

話說回頭,潘洛斯父子之所以着手研究「不可能物體」,其實是受到艾雪版畫的影響;而他們抽象出來的「最純粹形式」又反過來啟發了艾雪創作《瀑布》:畫面裏自上而下傾瀉的瀑布,從左邊看跨越了兩層樓,從右邊看又是一條在同一平面內曲折行進的水道;水道與瀑布首尾銜接,通過水車組成了一台「永動機」。仔細一看,這個荒謬的結構不過是由兩個潘洛斯三角組合而成。《紀念碑谷》系列也出現過直接向這幅畫致敬的關卡。

除了外形上的變體,潘洛斯三角在結構上的變式還包括潘洛斯階梯(Penrose stairs)——一個不斷上行轉彎四次卻總是回到原點的詭異樓梯。潘洛斯階梯的知名度可能更高,因為它曾經出現在電影《潛行凶間》(Inception)的造夢情節裏,還在中國盜墓小說中以「懸魂梯」之名被描述過。艾雪名作《上升與下降》則描繪了兩隊人在潘洛斯階梯上相向而行,一隊上樓,一隊下樓,循環往復,永無終點。

艾雪1960年版畫作品《上升與下降》。

艾雪1960年版畫作品《上升與下降》。遊戲截圖

《紀念碑谷》中類似潘洛斯階梯的關卡。

《紀念碑谷》中類似潘洛斯階梯的關卡。遊戲截圖

艾雪曾說,「驚奇」是他藝術追求的首要目標,他想要「盡力喚醒觀者腦中的驚奇」。無論是從科學還是藝術的角度來看,艾雪作品帶來的驚奇感都被完美複製到了《紀念碑谷》系列中,成就了這款遊戲最吸引人之處:在那些「不可能世界」,眼見即合理,虛則實之,實則虛之,虛實之間柳暗花明。

與前作圍繞艾達公主營造出強烈的孤獨感不同,續作特意設計出雙人闖關模式,玩家需要讓母親羅爾和孩子兩人互相配合才能通關。更特別的是,隨着故事發展和關卡推進,原本只會跟在母親身後的孩子慢慢嘗試着自己移動,到最後開始獨自冒險,故事也分為兩條線進行,直到最後一關重聚。這顯然是一個關於成長的故事。

巧合的是,王友健在第一部遊戲推出後就曾寫道:「當電子遊戲被視作藝術品時,意味着它已經成為一種可以表達動人經歷和創意思想的媒介,同時也擁有了文化內涵——通過遊戲,我們可以理解人生的一小部分,愛恨、生死和思考的意義。」

艾雪留下的一句名言或許是對《紀念碑谷》系列最好的註解:「讓我們試着翻山越嶺,不要老盯着腳下能踩到的東西,而是抬頭看看,有什麼可以拉自己一把,於我而言,那是天上的星星。」

(本文作者張可是數學博士、自由撰稿人)

(原稿由第九區提供版權,經端傳媒編輯,未經第九區許可,不得轉載)

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