纪念碑谷：“不可能世界”是如何被创造的？

绘画就是骗术——即，暗示代替了现实——我们便可以得寸进尺，用一个二维的世界创造出一个三维的世界。

科普作家恩斯特（Bruno Ernst）在《魔镜：埃舍尔的不可能世界》（The Magic Mirror of M.C. Escher）一书中这样写道。他评论的对象是留下众多奇妙画作的荷兰艺术家埃舍尔（M.C. Escher, 1898 – 1972），后者最为人称道的作品当中，不乏利用空间视错觉手段创造出的“不可能世界”——倘若步入其中游览，你会发现经验里的上下、内外、凹凸这些空间概念开始错乱，甚至互为彼此。

这些作品不仅引起了数学家的兴趣，也启发了当代流行文化创作，《纪念碑谷》（Monument Valley）系列游戏就是其中的杰出代表。这款空间解谜游戏自2014年相继在 iOS 和安卓平台推出后，迅速凭借其简约而玄妙的视觉元素，配以清新又神秘的背景音乐，俘获了大批忠实粉丝。今年6月初的苹果全球开发者大会（WWDC）上，续作《纪念碑谷2》率先在 iOS 平台惊喜亮相，再度风靡全球。

纪念碑谷（Monument Valley）

发行时间：2014年（一代）、2017年（二代）

开发商：Ustwo Games

平台：iOS, Android

《纪念碑谷》系列由英国设计公司 Ustwo 旗下的游戏工作室开发，第一部的主设计师和美工师王友健（Ken Wong）为其奠定了艺术风格。在第一部里，玩家通过自己的“上帝之手”在屏幕上平移、旋转建筑物或变换视角，就能协助主角艾达公主突破既有几何结构限制、找出隐藏道路，从而自由地在各种几何体组成的立体迷宫中穿行，探寻纪念碑与“神圣几何”背后的秘密；第二部游戏虽是由王友健离职后的新团队开发，但延续了前作的风格与玩法，只是主角换成了母亲罗尔和她的孩子，讲述的则是一个关于亲子关系的全新故事。

游戏画面的灵感最初源自王友健对风格迥异的庙宇宫殿、亭台楼阁的兴趣，在加入 Ustwo 之后，他终于有机会设计一款以建筑为核心元素的移动端游戏。为了围绕建筑元素打造出有趣而独特的互动体验，游戏设计团队联想到了埃舍尔作品中那些在现实三维世界里不可能存在，但可以在二维屏幕上完美显示的几何结构。

在设计中最为关键的是，游戏里不少机关暗道之所以成立，都离不开采用等角投影（Isometric projection）的视觉呈现——这不仅是使用“彭罗斯三角”、“彭罗斯阶梯”等视错觉图形元素的先决条件，也让玩家能够以俯瞰视角纵览全局。这一设计思路直接来自埃舍尔的《上升与下降》（Ascending and Descending, 1960）和《瀑布》（Waterfall, 1961）等作品。

从绘画、建筑设计到计算机图形学，三维物体在二维平面的呈现，或者说投影，都是一个无法避开的重要课题。从几何学的角度来看，主流的投影手段无非两大类：透视投影（Perspective projection）和平行投影（Parallel projection）。

所谓透视投影，可以简单理解为观察者透过相机镜头看到的画面，所有投影线形成锥状，因此镜头的位置、方向和视野都会影响投影结果。这种方法可以得到与人眼看物体较为接近的视觉效果，因此自文艺复兴时期开始在绘画艺术中大行其道，如今也广泛应用到各类设计产品展示、3D 和 VR 游戏等领域。

而平行投影，则是假设观察者处在“无限远”来观看物体，所有投影线互相平行，因此不会产生透视投影那种“近大远小”的效果。尽管与人眼看到的画面差别显著，但由于可以显示三维物体的精确轮廓和尺寸，方便设计与加工，平行投影已成为工程制图等领域的主要方法。

《纪念碑谷》系列采用的等角投影就是平行投影最常见的一种，其三维座标轴在平面上形成三个120度的等角，令画面局部呈现出立体效果。如前所述，虽然视觉上的失真使得等角投影画面会出现高度难以辨识等尴尬状况，但由于这种方法所要求的计算量相对较低（比如将立方块移到远处，不需要让它看起来逐渐变小），而且部分满足了玩家的“立体感”，因此它在20世纪80到90年代的电子游戏中被广泛使用，并影响至今。

更有趣的是，这种失真恰好被《纪念碑谷》用来重现埃舍尔画作中看似荒谬的“不可能物体”，并以动态的形式赋予其新的生命。其中最具代表性的几何元素，当属在许多关卡中反复出现的彭罗斯三角（Penrose triangle）及其变体，它们在玩家的拨弄下，弹指间便可化作跨越鸿沟的桥梁。

一般认为，彭罗斯三角最早由瑞典艺术家 Oscar Reutersvärd 在1934年制作出来，英国数学家彭罗斯（Roger Penrose, 1931 – ）和他的遗传学家父亲也独立发现此图形并推而广之，彭罗斯三角由此得名。这对科学家父子于1958年在《英国心理学杂志》发表题为《不可能物体：视错觉的一种特别类型》的研究论文，将彭罗斯三角称为“不可能（物体）的最纯粹形式”（impossibility in its purest form）。

彭罗斯三角由三个截面为正方形的长方体构成，组合为三角结构的三个长方体又两两垂直——这些条件无法在我们通常认知的三维空间内实现（当然，不算那些只能在特定角度下观看，形似彭罗斯三角的道具模型），却可以在等角投影的二维画面中呈现出来。

作为一个兴趣广泛、充满好奇心的数学家，彭罗斯后来又发表了几篇论文专门研究这种现象。他甚至搬出代数拓扑中的上同调（cohomology）方法，从理论层面探究彭罗斯三角这类物体可以在何种抽象空间存在。

用拓扑学的语言作总结，彭罗斯三角其实是可以在某种特殊的三维流形（3-manifold）中成立的。流形可以视作局部与通常的欧几里得空间相似，但整体可能截然不同的空间。举个最简单的例子，你在家里的地板上画出的三角形内角之和是180度，但如果将镜头拉出地球外，你会发现用赤道和两条经线（对地面上的人而言是三条直线）围出的三角形内角和却是大于180度的，这意味着球面和平面是局部相似而整体不同的两种二维流形。

话说回头，彭罗斯父子之所以着手研究“不可能物体”，其实是受到埃舍尔版画的影响；而他们抽象出来的“最纯粹形式”又反过来启发了埃舍尔创作《瀑布》：画面里自上而下倾泻的瀑布，从左边看跨越了两层楼，从右边看又是一条在同一平面内曲折行进的水道；水道与瀑布首尾衔接，通过水车组成了一台“永动机”。仔细一看，这个荒谬的结构不过是由两个彭罗斯三角组合而成。《纪念碑谷》系列也出现过直接向这幅画致敬的关卡。

除了外形上的变体，彭罗斯三角在结构上的变式还包括彭罗斯阶梯（Penrose stairs）——一个不断上行转弯四次却总是回到原点的诡异楼梯。彭罗斯阶梯的知名度可能更高，因为它曾经出现在电影《盗梦空间》的造梦情节里，还在中国盗墓小说中以“悬魂梯”之名被描述过。埃舍尔名作《上升与下降》则描绘了两队人在彭罗斯阶梯上相向而行，一队上楼，一队下楼，循环往复，永无终点。

埃舍尔曾说，“惊奇”是他艺术追求的首要目标，他想要“尽力唤醒观者脑中的惊奇”。无论是从科学还是艺术的角度来看，埃舍尔作品带来的惊奇感都被完美复制到了《纪念碑谷》系列中，成就了这款游戏最吸引人之处：在那些“不可能世界”，眼见即合理，虚则实之，实则虚之，虚实之间柳暗花明。

与前作围绕艾达公主营造出强烈的孤独感不同，续作特意设计出双人闯关模式，玩家需要让母亲罗尔和孩子两人互相配合才能通关。更特别的是，随着故事发展和关卡推进，原本只会跟在母亲身后的孩子慢慢尝试着自己移动，到最后开始独自冒险，故事也分为两条线进行，直到最后一关重聚。这显然是一个关于成长的故事。

巧合的是，王友健在第一部游戏推出后就曾写道：“当电子游戏被视作艺术品时，意味着它已经成为一种可以表达动人经历和创意思想的媒介，同时也拥有了文化内涵——通过游戏，我们可以理解人生的一小部分，爱恨、生死和思考的意义。”

埃舍尔留下的一句名言或许是对《纪念碑谷》系列最好的注解：“让我们试着翻山越岭，不要老盯着脚下能踩到的东西，而是抬头看看，有什么可以拉自己一把，于我而言，那是天上的星星。”

（本文作者张可是数学博士、自由撰稿人）

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