说起数学，大家都知道数学对科学技术及经济的贡献。当下香港教育局为提高香港在国际的经济竞争力，大力推行 STEM 教育，其中的S、T、E、M分别代表科学（Science）、技术（Technology）、工程（Engineering），和数学（Mathematics），首三项实际上都是以第四项的数学为基础的。此外，统计学作为数学的一门分支，也被广泛应用在社会科学范畴中。不过， 若果说数学与社会公义有关，恐怕不少人会觉得匪夷所思。事实果真如此吗？
立法会分组点票机制的偏私程度
首先以香港立法会的投票机制为例。立法会现时有70位议员，其中一半属于地区直选界别，另外一半属于功能界别。由于功能界别只代表香港某些特定阶层────尤其是商界及建制────的利益，以及某些功能组别只有少数选民，有违所有选民拥有平等选举权及被代表权的民主原则，因此一直被批评为不民主。而香港立法会所独有的分组投票机制，则是另一个不民主的制度。
香港的立法会与一般民选议会一样，政府是没有投票权和否决权的。政府在立法会的角色，只是提出法案让议员投票决定通过与否，以及解答议员有关会议讨论事项的问题及质询。由政府向立法会提出的法案，经全体出席议员以多数赞成便可获得通过，这与其他地区民选议会的情况相同。但是，由议员提出的法案（亦称为私人法案），则需要在功能界别及地区选举界别各自独立的点票中（即所谓的“分组点票”）都以多数通过，才算获得通过。
假若法案在分组点票中都获得通过，亦即在地区选举界别和在功能界别中，同样是赞成票多于反对票，则合共的所有投赞成票必定比反对票多，因此该法案在全体议员的点票中亦会获得通过。反过来，法案若在全体议员点票时所得赞成票多于反对票，有时在分组点票中却未必能获得通过。
例如，若某一私人法案在地区选举界别有25票赞成10票反对，而在功能界别有15票赞成20票反对，因为不能在两组中同时以多数票通过，于是法案会被否决；但若果这法案是政府提出的，则因为合共有40票赞成30票反对，而会获得通过。由此可见这个分组点票的机制明显对政府提出的法案有所偏私。
于是，便生出一个问题：这偏私的程度有多大？可以准确量度吗？
偏帮政府的隐形议员
为分析及计算香港立法会的分组投票机制对政府偏私的程度，香港大学数学系的吴端伟教授和张伟信博士（注一），以严谨的数学方法，构作了一个数学模型，在立法会中引入一位虚拟的官方议员。这位在70位议员之外的无形议员，会赞成所有由政府提出的法案，却反对所有私人法案。在议会中，每位议员以投票方式影响法案通过与否的影响力，通常是以一个以数学方法得出、名为“夏普理．舒比权力指数”（Shapley-Shubik power index，简称SSI）的数字量度。SSI 的数学定义比较复杂，以下我尝试用日常语言解释：
假设在一个投票机制中，所有投票者随机地依次序投赞成或反对票。在投票者逐一依次投票的过程中，其中一位特定的投票者 A 君所投的票，有可能恰巧使法案从未能确定通过与否，一下子变成通过或不通过，亦即 A 君投的票起着关键作用。A 君的 SSI，就是在所有随机依次投票的情况下，出现 A 君的票起着关键作用的情况的比率。显然地，这个 SSI 数字一定是介于0和1之间，且 SSI 数字愈大，表示这位投票者左右议案通过与否的能力愈大。
吴、张两位计出立法会70名议员每人的 SSI 均为0.0137。至于该名无形的官方议员，他所投的“票”，其实是令法案从私人法案变成政府法案──若他投的“票”刚巧起着关键作用的话，就是说先前其他已投票议员的投票结果，在分组点票中未获通过，但在全体议员点票中却获通过。这种情况发生的比率，亦即是该名无形官方议员的 SSI， 吴、张计出是0.0395，是普通立法会议员的2.88倍，即是接近三倍。换言之，立法会的分组点票机制，大概等于为政府暗中在立法会中安插了三名永远在投票时偏帮政府的隐形议员。这个数学结果清楚显示出，香港立法会的投票机制违背了一般民选议会中政府没有投票权的基本原则。
在此需要指出：政府从分组点票获得的不民主权力，并非因为这两组议员中有一组是功能界别（虽然不少功能界别的议员属于建制，因此政治立场与政府相近）。事实上，就算两组的议员全部由地区选举产生，政府因分组点票机制获得的不民主有利因素，也不会有丝毫减损。（注二）
近年政府及建制为了平息社会对功能界别的种种指摘，提出了扩大功能界别的选民基础，及接纳民主党的“一人两票”方案。然而，从吴、张的研究结果可见，无论怎样“优化”功能组别，也无助改善这个不民主制度，因此立法会的分组点票机制应予废除。
高能者多得，可令社会财富公正分配？
一些复杂的动态系统，例如经济体系、人口增长、天气变化等等，科学家可以透过数学模型作研究分析。不过，很多时候这些数学模型本身甚为复杂，或者其中涉及随机的成分，难以单靠数学理论得出闭合解（closed form solution，简单来说就是以一些标准数学函数组成的数式作为答案）。在这些情况下，科学家可以运用计算模拟（computational simulation），以电脑程序在电子计算机上做实验，从而得出这些动态系统的数值解。 若果这些系统涉及随机成分，科学家可以进行重复多次的计算模拟运算，在得出的众多答案中，找出一些普遍的规律，从而引伸出结论。
新自由主义（neoliberalism）所推许的论功行赏经济模式（merit based economy），强调个人从社会获取的经济回报应该与其本身能力（在这里，“能力”泛指智力、技能、所付出的努力与贡献等等）的高低成正比：能力愈高者该可获取愈高的经济回报，反之亦然。信奉这种经济主义的人相信，在“高能者多得”的社会里，财富将可获得最公正的分配 。
1995年，美国研究机构 Brookings Institution 的两位研究者 Joshua Epstein 和 Robert Axtell （注三）设计了一个数学动态系统，以数学模型及电脑程序模拟一个“高能者多得”的人工社会。 这个名为 "Sugarscape" 的人工社会，其地貌像是一个中国围棋的方格棋盘，方格上预先分布了一些不同数量的糖，象征这社会起初的既有财产资源；同时也有一定数量的“人”，以随机方式分布在方格上。这些人被预先设定各自具有高低不同的“能力”，会根据“高能者多得”的规则进行互动，一边在方格上移动，一边掠取方格上的糖。这个互动过程，也就是这个简化了的“高能者多得”经济体系的运作，经过一段时间之后，各人所取得的糖的数量，可以视作这个社会上的财富分配结果。
经过重复多次的计算模拟，Epstein 与 Axtell 发现，虽然他们设定在这个人工社会中各人的先天能力高低以平均分布，但这个经济系统运作一段时间后，社会上的贫富分布必然变得极端失衡：不单变得贫者愈贫富者愈富，而且只有很少数的人变成非常富有，以及有一大部分人变得很贫穷。这个现象，不能单用“高能者多得”的原因作解释，因为若果如是，则既然各人先天的能力高低是平均分布的，那么最后整体的财产多寡分布也该是平均的才对。而事实上，近年有不少经济学者的研究指出，全球奉行资本主义的发达国家诸如欧美等国，其贫富差距悬殊的现象日趋严重，以致被人以“99比1”来形容。这现象完全符合上述在22年前已用数学模型模拟计算得出的结果。
这两位学者的数学模型，比起我们现实世界中的经济社会无疑是简化了很多。因此，我们把他们的结果应用到现实时，需要十分小心，不能简单地全盘照收。不过，这个数学模型及计算模拟得出的结果，可以给予我们重要的启发 。正如近年大热的书本 Capital in the Twenty-First Century 的作者 Thomas Piketty 所言，今天资本主义社会中的极度贫富悬殊，并不是偶然的意外。若果认为这个现象并不理想的话，便需要重新检视当下的资本主义经济运作模式，以及作出一些根本改变。
以上两个例子，一个是政治权力的分析计算，一个是社会财富分配的动态变化，两者都以数学为研究方法和工具，可见数学与社会公义的关系并不如一般人想像的疏离。（注四）
意大利天文学家伽利略在差不多五百年前这样写过：穹苍就像一本以数学写成的书，要读懂这本书，便要先认识数学的语言。今天我们也可以说：社会公义是一本人类不断书写的书本，其中也有用数学写成的篇章。
（丁南侨，数学工作者）
注一：Wai-Shun Cheung & Tuen-Wai Ng, A three-dimensional voting system in Hong Kong, European Journal of Operational , vol 236 (2014) 292–297.
注二：民主派要在两组都得多数议席，比较在全体70席中取得多数席要困难。换句话说，香港的民主派要比在一般常规式议会中做得更好，才可以扺销政府从立法会分组点票机制取得的优势。
注三：Joshua M. Epstein & Robert L. Axtell, Growing Artificial Societies, Brookings Institution Press & MIT Press, 1996.
注四：关于数学与社会公义的关联，笔者将会在香港民间学院讲授的“否想数学”课程中有更多的阐述。