說起數學，大家都知道數學對科學技術及經濟的貢獻。當下香港教育局為提高香港在國際的經濟競爭力，大力推行 STEM 教育，其中的S、T、E、M分別代表科學（Science）、技術（Technology）、工程（Engineering），和數學（Mathematics），首三項實際上都是以第四項的數學為基礎的。此外，統計學作為數學的一門分支，也被廣泛應用在社會科學範疇中。不過， 若果說數學與社會公義有關，恐怕不少人會覺得匪夷所思。事實果真如此嗎？
立法會分組點票機制的偏私程度
首先以香港立法會的投票機制為例。立法會現時有70位議員，其中一半屬於地區直選界別，另外一半屬於功能界別。由於功能界別只代表香港某些特定階層────尤其是商界及建制────的利益，以及某些功能組別只有少數選民，有違所有選民擁有平等選舉權及被代表權的民主原則，因此一直被批評為不民主。而香港立法會所獨有的分組投票機制，則是另一個不民主的制度。
香港的立法會與一般民選議會一樣，政府是沒有投票權和否決權的。政府在立法會的角色，只是提出法案讓議員投票決定通過與否，以及解答議員有關會議討論事項的問題及質詢。由政府向立法會提出的法案，經全體出席議員以多數贊成便可獲得通過，這與其他地區民選議會的情況相同。但是，由議員提出的法案（亦稱為私人法案），則需要在功能界別及地區選舉界別各自獨立的點票中（即所謂的「分組點票」）都以多數通過，才算獲得通過。
假若法案在分組點票中都獲得通過，亦即在地區選舉界別和在功能界別中，同樣是贊成票多於反對票，則合共的所有投贊成票必定比反對票多，因此該法案在全體議員的點票中亦會獲得通過。反過來，法案若在全體議員點票時所得贊成票多於反對票，有時在分組點票中卻未必能獲得通過。
例如，若某一私人法案在地區選舉界別有25票贊成10票反對，而在功能界別有15票贊成20票反對，因為不能在兩組中同時以多數票通過，於是法案會被否決；但若果這法案是政府提出的，則因為合共有40票贊成30票反對，而會獲得通過。由此可見這個分組點票的機制明顯對政府提出的法案有所偏私。
於是，便生出一個問題：這偏私的程度有多大？可以準確量度嗎？
偏幫政府的隱形議員
為分析及計算香港立法會的分組投票機制對政府偏私的程度，香港大學數學系的吳端偉教授和張偉信博士（註一），以嚴謹的數學方法，構作了一個數學模型，在立法會中引入一位虛擬的官方議員。這位在70位議員之外的無形議員，會贊成所有由政府提出的法案，卻反對所有私人法案。在議會中，每位議員以投票方式影響法案通過與否的影響力，通常是以一個以數學方法得出、名為「夏普理．舒比權力指數」（Shapley-Shubik power index，簡稱SSI）的數字量度。SSI 的數學定義比較複雜，以下我嘗試用日常語言解釋：
假設在一個投票機制中，所有投票者隨機地依次序投贊成或反對票。在投票者逐一依次投票的過程中，其中一位特定的投票者 A 君所投的票，有可能恰巧使法案從未能確定通過與否，一下子變成通過或不通過，亦即 A 君投的票起着關鍵作用。A 君的 SSI，就是在所有隨機依次投票的情況下，出現 A 君的票起着關鍵作用的情況的比率。顯然地，這個 SSI 數字一定是介於0和1之間，且 SSI 數字愈大，表示這位投票者左右議案通過與否的能力愈大。
吳、張兩位計出立法會70名議員每人的 SSI 均為0.0137。至於該名無形的官方議員，他所投的「票」，其實是令法案從私人法案變成政府法案──若他投的「票」剛巧起着關鍵作用的話，就是說先前其他已投票議員的投票結果，在分組點票中未獲通過，但在全體議員點票中卻獲通過。這種情況發生的比率，亦即是該名無形官方議員的 SSI， 吳、張計出是0.0395，是普通立法會議員的2.88倍，即是接近三倍。換言之，立法會的分組點票機制，大概等於為政府暗中在立法會中安插了三名永遠在投票時偏幫政府的隱形議員。這個數學結果清楚顯示出，香港立法會的投票機制違背了一般民選議會中政府沒有投票權的基本原則。
在此需要指出：政府從分組點票獲得的不民主權力，並非因為這兩組議員中有一組是功能界別（雖然不少功能界別的議員屬於建制，因此政治立場與政府相近）。事實上，就算兩組的議員全部由地區選舉產生，政府因分組點票機制獲得的不民主有利因素，也不會有絲毫減損。（註二）
近年政府及建制為了平息社會對功能界別的種種指摘，提出了擴大功能界別的選民基礎，及接納民主黨的「一人兩票」方案。然而，從吳、張的研究結果可見，無論怎樣「優化」功能組別，也無助改善這個不民主制度，因此立法會的分組點票機制應予廢除。
高能者多得，可令社會財富公正分配？
一些複雜的動態系統，例如經濟體系、人口增長、天氣變化等等，科學家可以透過數學模型作研究分析。不過，很多時候這些數學模型本身甚為複雜，或者其中涉及隨機的成分，難以單靠數學理論得出閉合解（closed form solution，簡單來說就是以一些標準數學函數組成的數式作為答案）。在這些情況下，科學家可以運用計算模擬（computational simulation），以電腦程式在電子計算機上做實驗，從而得出這些動態系統的數值解。 若果這些系統涉及隨機成分，科學家可以進行重複多次的計算模擬運算，在得出的眾多答案中，找出一些普遍的規律，從而引伸出結論。
新自由主義（neoliberalism）所推許的論功行賞經濟模式（merit based economy），強調個人從社會獲取的經濟回報應該與其本身能力（在這裏，「能力」泛指智力、技能、所付出的努力與貢獻等等）的高低成正比：能力愈高者該可獲取愈高的經濟回報，反之亦然。信奉這種經濟主義的人相信，在「高能者多得」的社會裏，財富將可獲得最公正的分配 。
1995年，美國研究機構 Brookings Institution 的兩位研究者 Joshua Epstein 和 Robert Axtell （註三）設計了一個數學動態系統，以數學模型及電腦程式模擬一個「高能者多得」的人工社會。 這個名為 "Sugarscape" 的人工社會，其地貌像是一個中國圍棋的方格棋盤，方格上預先分布了一些不同數量的糖，象徵這社會起初的既有財產資源；同時也有一定數量的「人」，以隨機方式分布在方格上。這些人被預先設定各自具有高低不同的「能力」，會根據「高能者多得」的規則進行互動，一邊在方格上移動，一邊掠取方格上的糖。這個互動過程，也就是這個簡化了的「高能者多得」經濟體系的運作，經過一段時間之後，各人所取得的糖的數量，可以視作這個社會上的財富分配結果。
經過重複多次的計算模擬，Epstein 與 Axtell 發現，雖然他們設定在這個人工社會中各人的先天能力高低以平均分布，但這個經濟系統運作一段時間後，社會上的貧富分布必然變得極端失衡：不單變得貧者愈貧富者愈富，而且只有很少數的人變成非常富有，以及有一大部分人變得很貧窮。這個現象，不能單用「高能者多得」的原因作解釋，因為若果如是，則既然各人先天的能力高低是平均分布的，那麼最後整體的財產多寡分布也該是平均的才對。而事實上，近年有不少經濟學者的研究指出，全球奉行資本主義的發達國家諸如歐美等國，其貧富差距懸殊的現象日趨嚴重，以致被人以「99比1」來形容。這現象完全符合上述在22年前已用數學模型模擬計算得出的結果。
這兩位學者的數學模型，比起我們現實世界中的經濟社會無疑是簡化了很多。因此，我們把他們的結果應用到現實時，需要十分小心，不能簡單地全盤照收。不過，這個數學模型及計算模擬得出的結果，可以給予我們重要的啟發 。正如近年大熱的書本 Capital in the Twenty-First Century 的作者 Thomas Piketty 所言，今天資本主義社會中的極度貧富懸殊，並不是偶然的意外。若果認為這個現象並不理想的話，便需要重新檢視當下的資本主義經濟運作模式，以及作出一些根本改變。
以上兩個例子，一個是政治權力的分析計算，一個是社會財富分配的動態變化，兩者都以數學為研究方法和工具，可見數學與社會公義的關係並不如一般人想像的疏離。（註四）
意大利天文學家伽利略在差不多五百年前這樣寫過：穹蒼就像一本以數學寫成的書，要讀懂這本書，便要先認識數學的語言。今天我們也可以說：社會公義是一本人類不斷書寫的書本，其中也有用數學寫成的篇章。
（丁南僑，數學工作者）
註一：Wai-Shun Cheung & Tuen-Wai Ng, A three-dimensional voting system in Hong Kong, European Journal of Operational , vol 236 (2014) 292–297.
註二：民主派要在兩組都得多數議席，比較在全體70席中取得多數席要困難。換句話說，香港的民主派要比在一般常規式議會中做得更好，才可以扺銷政府從立法會分組點票機制取得的優勢。
註三：Joshua M. Epstein & Robert L. Axtell, Growing Artificial Societies, Brookings Institution Press & MIT Press, 1996.
註四：關於數學與社會公義的關聯，筆者將會在香港民間學院講授的「否想數學」課程中有更多的闡述。